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     数学嫌いはどこから生まれてくるのか?
     
     よく聞かれる「役に立たないから」なる理由は、実のところ良くて後付け悪くて言い訳であって、その実態は、算数や数学につまずいて分からなくなった人たちが、イソップ寓話のキツネよろしく「あのブドウ(数学)は酸っぱい(役に立たない)」と言い広めているのである。
     
     ならば撃つべきは〈算数・数学のつまずき〉である。
     

     以下に示すのは、小学校の算数から大学基礎レベルの数学まで、「つまずいて分からなくなる」箇所を集めて16のカテゴリーに分類したものである。

     一度もつまずかず専門レベルまで一気に駆け上がることのできた一握りの天才を除けば、数学が得意な人も不得意な人もみなどこかでつまずいたであろう、さまざまな算数・数学の難所が挙げられている。

     この分類が示そうとしていることのひとつは、同じ〈根っこ〉をもったつまずきが、小・中・高・大の各レベルで繰り返し出現することである。

     たとえば、「すべての」と「ある~/~が存在する」をうまく理解できないことは、中学レベルでは方程式と恒等式の混乱を招き、大学レベルではε-δ論法やコンパクト性の理解を困難にする。

     異なるレベルとトピックを貫く〈つまずきの根っこ〉は、算数・数学の各分野・トピック間にある切り離し難い結びつきを教え、また数学理解の枢要を、つまり何をちゃんと理解しておかないと同じことでつまずいてしまうかを示している。

     善用すれば、この分類は、学習者が算数・数学の何につまずいているのか理解する手がかりを与え、そこから立ち直る方策を探る一助となるだろう。またこれからつまずくであろう箇所を予測・予防することにも役立つ。
     それらに加えて、数学が得意か苦手か、そのいずれかしかないかのような単純化された二分法、「100じゃなければゼロ」思考に陥る認知の歪みに気付かせ、「自分自身に対する個人攻撃(私に才能が無いから数学が分からないのだ)」を踏みとどまる助けになるかもしれない。

     それらはまた、数学に対する我々の孤独な格闘が(そしてその挫折やあきらめが)また、数学を学んだり壁にぶち当たっている他の人たちの奮戦と、繋がり合っていることをも示している。
     算数・数学につまずいたのは私ひとりではない。
     同じトピックを学んでいる同世代のライバルばかりでなく、もっと高度な数学に挑んでいる人たちも、もっと初歩的な算数に取り組んでいる人たちも、同じような間違いをし、同種の困難に立ちふさがれ、しかしそれを乗り越えようとしているのだ。Lonesome No More!!
     

    tumazuki++.png


     

     出典を述べるのが後になった。
     この分類は、芳沢光雄(2006)「算数・数学つまずきの分類」『数学教育』88(3), pp.24-28. に提示されたリストを、16のカテゴリー×レベル(小学校、中学校、高等学校、大学基礎)の表に並べ替えたものである。算数・数学に関する700ちかくの〈つまずき〉を収集し、それぞれのレベルで高度すぎるものや単純ミスを除き、同種のものをまとめて126の〈つまずき〉を選び出している。
     なお数学教育者向けに書かれたこの論考は、算数・数学の学習者には必ずしも分かりやすくないので、同じテーマに関して一般向けに書かれた同氏の『算数・数学が得意になる本』『ぼくも算数が苦手だった』(以上、講談社現代新書)、『つまずき対策講座 教科書以前の大学数学常識』(講談社)を参照して表現を一部補ったり書き換えた(なので原文を記事の最後につけた)。
     これらの書には、それぞれの〈つまづき〉にどう対処すればいいかも書いてあるが、それについては改めて。
     
     また分かりやすいかもと思って、各項目に「【難】理解が難しい、納得し難い」「【誤】間違いがち、間違って理解しがち」の別を付け加えたが、余計なお世話かもしれない。



    算数・数学が得意になる本 (講談社現代新書)算数・数学が得意になる本 (講談社現代新書)
    (2006/05/19)
    芳沢 光雄

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    ぼくも算数が苦手だった (講談社現代新書)ぼくも算数が苦手だった (講談社現代新書)
    (2008/06/17)
    芳沢 光雄

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    つまずき対策講座 教科書以前の大学数学常識 (KS理工学専門書)つまずき対策講座 教科書以前の大学数学常識 (KS理工学専門書)
    (2011/04/07)
    芳沢 光雄

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     前回の記事で「誰が、どんな数学を、どのように使っているか」の表がクリックしても大きくならない、見えない、見たい、なんとかしろ、という話があったので、それを。

     Hal Saundersの書物When Are We Ever Gonna Have to Use This?にある


    When Are We Ever Gonna Have to Use This?When Are We Ever Gonna Have to Use This?
    (1996/01)
    Hal Saunders

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    「100の職業人に聞きました、あなたが仕事で使う数学はどんなん?」をまとめた表をそのままスキャンして貼り付けるのもどうかと思ったので、これを元に、より多くの数学のスキル/知識を使う職業から順にソートして並べてみた。
     
     Saundersは、職業人に使われている数学を60のトピックにまとめているが、これについても、より多くの職業で使われるものから順に並べた。
     
     
     job-math-table.jpg
    (クリックで拡大)

    元のデータをgoogle spreadsheetにアップロードしました(2017.12.31)


     元々この本は、教科書に頻出するあまりに非現実的な応用問題と、それにしらけている生徒と、それを見ないことにしている教師とに耐えかねた著者が、教室を飛び出し、働いている人が実際に使っている数学は何なのかを聞き出すべくインタビューを繰り返してつくったものである。
     この本のほとんどのページは、本のタイトルに掲げられた「こんなものいつ使うんだよ?」という、繰り返し生徒から湧き上がる質問への解答として、職業人のインタビューから抜粋された何百もの使用例(具体的な数値入り)で埋められている。
     
     この書の教育的目的は以上のとおり明らかだが、あらゆる道具が悪用可能なように(「人類が作ってきたものというのは全て武器なんですね。例えばアイロンで人を殺すこともできるわけです」(豊田有恒))、この表ももちろん、作られたのとは別の用途に用いることもできる。
     たとえば「ぼくはディスク・ジョッキーになるつもりだから、暗算とコンピュータだけでいいんだ」と方程式を勉強しない言い訳をこの表から調達することだってできる。
     
     しかしこの表は職業生活における数学の利用実態を示しているが、その職に就くために必要な数学を網羅してはいない。
     わかりやすい例で言うなら、医者(内科医)は毎日の医療行為に微分積分を必要としないが、医者になる過程で、たとえば入学試験をパスするために、微分積分の問題が解くことが必要になる。
     
     加えていえば、Saundersが注記するように、同じ職業でもそれに就く個人の数学のレベルは様々である。
     たとえば、もともと数学の得意な弁護士は、テクノロジー関連の仕事をより多く引き受けるかもしれず、そうなれば数学の苦手な弁護士よりも、仕事に使う数学に挙げられるものが多くなるだろう。
     こうして同じ職業でも、数学の利用の程度や必要の度合いは異ってくるだろうから、よく使う職業/よく使われる数学の順序は、参考程度というべきだろう。職業同士を比較して(銀行のCEOよりプロゴルファーが上だとか)上だ下だと一喜一憂するのは論外である。

     最後にもう一つ。
     この表はまた、実用一辺倒で数学を学ぶ必要を説得しようという目論見の射程の短さをも示している。
     見る人によっては「こんなにもたくさんの数学が必要なのか」と感じるかも知れないが、現代社会で役に立っている数学の広がりからすれば、この表に登場する数学はあまりにも狭く小さい。
     分業の結果、我々は互いに依存しあう関係を個人的には掌握できないまでに広げることで、信じられないほど多くの営為を知らない他人にやってもらっている。
     つまるところ、この程度の数学で飯が食えて、なおかつ文明が維持できるのは、たくさんの誰かが私の知らないところで、代わりに数学していてくれるからである。
     

     なお、Saundersのインタビューはこんな小さな本では十分盛り込めなかったらしく、実用例からの練習問題が全体の半分を占める数学の教科書(新しい版は860ページもある)を作っている。下の本がそれ。


    Mathematics for the Trades: A Guided ApproachMathematics for the Trades: A Guided Approach
    (2010/01/03)
    Robert A. Carman Emeritus、Hal M. Saunders 他

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