■補数って？

　１０、１００，１０００……から、ある数を引いた残りの数のことを（基数の）補数というが、今回の主役は、
それよりも１少ない、いわゆる減基数の補数^（注）である。
　１０進数だと、ぶっちゃけ足して（各桁が）９になる数（の組）だ。


　具体例を出すと「９－１＝８」だから、８は１の補数である。いうまでもないが、１は８の補数である。


■まずは「おつり算」

　日常生活で最も多い計算は「おつりを計算すること」だろう。
　これは補数を使った計算の第一歩にちょうどいい。

速算に　１００００－３４５２＝？

を計算することは、３４５２の基数の補数をもとめることだけれど、

まず減基数の補数を求めちゃえばいい。そしてこれは次の方法で反射的にできる。
減基数の補数は基数の補数よりも１だけ少ないということを心に留めておくと、

次の表を覚えておく（というより反射的に出るようにしておく）だけで、
「繰り下がり」なんかに希少で貴重なワーキング・メモリを費やさずに、反射的に計算ができる。

　０　なら　９
　１　なら　８
　２　なら　７
　３　なら　６
　４　なら　５
　５　なら　４
　６　なら　３
　７　なら　２
　８　なら　１
　９　なら　０


　表の中身は、なんてことない「足して９になる数字の組」なので覚えるまでもないが、反射的に出るようにしておくのが、ポイント。


■実際の計算

　９９９９　＋　１　＝１００００
　３４５２

　↓↓↓↓（反射的に置き換え）

　６５４７（減基数の補数）　＋　１　＝　６５４８（基数の補数）

　何桁の引き算だろうと、最も上の位から十の位までは、自動的に置き換えることで済む。
　一の桁だけ、プラス１することを忘れなければよい。
　さらに良いことは、上の桁から計算ができるので、口頭で数字が与えられた時でも、数字を読み上げられているさなかに計算が開始できるので、数字を一旦アタマの中に蓄えなくても計算できる。
　おかげで、これまたワーキング・メモリを消費しなくて済む。


　１０００００００００００００００００
　　４３５１２８０９８３８４２８３７４
　－）
　　５６４８７１９０１６１５７１６２６

　こんな桁数が多くても大丈夫である。
　最後の一の位だけ、忘れず１プラスしておくこと。
　というより「９９９……９」から始めたんだ、ということだけは忘れずにいること。


■引き算と足し算を相互に変換する

　「おつり算」を反射的にできるようになることは、補数を反射的に計算できることである。
　実は、補数は、引き算を足し算にするのに用いられる。
　オーバーフロー（桁あふれ）を無視すれば、ある数で足し算することは、その基数の補数を引き算することに等しい。
　例を示そう。

　３８＋９９
＝３８＋（１００－１）
＝１００＋３８－１
＝１００＋３７
＝１３７

ステップを細かく分けているが、９９なら１００を足しておいて１引く、なんてことは誰でも思い付くだろう。ここで１は９９の基数の補数である。

　３８＋８６
＝３８＋（１００－１４）
＝１００＋３８－１４
＝１００＋２４
＝１２４

やってることは同じ。頭の使い方は、「３８＋８６だと、どしたって１００超えるよな。下二桁は、８６→（補数に変換）→１４を足しときゃいいか。１００と２４だ。」といった感じである。

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（注）
　基数の補数を使え、と書いてあるものがあるが、却って鬱陶しい。なぜそろばんの珠は、１０から９を表すものに「進化」したのか、考えてみるといい。
　なお基数をもっとちゃんと定義しとくと、
b 進法において、自然数 a を表現するのに必要な最小の桁数を n としたとき、

　　* bⁿ － a を「b 進法における a に対する基数の補数（b の補数）」
　　* bⁿ － a － 1 を「b 進法における a に対する減基数の補数（b - 1 の補数）」

という。
　例えば、10進法において、自然数 61 に対する基数 10 の補数は 10² － 61 = 39、減基数の補数は、10² － 61 -1 =38。つまり「足して９になる数」に各桁を置き換えることは、減基数の補数を求めているのである。
　２進法において、自然数 10010₂( = 18₁₀) に対する基数 2 の補数は 2⁵ － 18 = 1110₂( = 14₁₀) 、減基数の補数は01101₂と１と０を入れ替えた数になる。

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